Pflichtteil A1 (2025)

Aufgaben
Lösungen
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Aufgabe 1

(1,5 P)

Gegeben ist die abgebildete quadratische Pyramide.

Vervollständige die Gleichungen.

a)
sin γ =
AS
b)
=
SE
BE
c)
cos α =
AB
Pyramide

Aufgabe 2

(1,5 P)

Benjamin hat die verschobene Normalparabel p mit der Funktionsgleichung y = x2 + 4x + 6 und die Gerade g mit der Funktionsgleichung y = 2x - 1 falsch gezeichnet.

Welche Fehler hat Benjamin gemacht? Beschreibe die Fehler.

Koordinatensystem

Aufgabe 3

(2 P)

Löse die Gleichung.

3x(x + 1) - 10 = 5 + x + 2x2

Aufgabe 4

(1 P)

Setze das richtige Zeichen (< ; = ; >) ein.

a)
sin 10°sin 110°
b)
sin 50°sin 150°

Aufgabe 5

(1,5 P)

Das Diagramm zeigt die Nutzung von E-Bikes in den Jahren von 2020 bis 2023. Jedes Jahr wurden jeweils 6000 Personen befragt.

Im Diagramm sind die Ergebnisse dieser jährlichen Umfrage in Prozent dargestellt.

a)

Wie viele der befragten Personen nutzten im Jahr 2023 ein E-Bike?

Berechne.

b)

Von den Personen, die im Jahr 2022 ein E-Bike nutzten, waren 40 % älter als 60 Jahre.

Wie viele Personen waren das?

Berechne.

E-Bike Diagramm

Aufgabe 6

(1 P)

Das abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht.

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

a)
P(zweimal blau)
b)
P(höchstens einmal weiß)
Glücksrad

Aufgabe 7

(1,5 P)

Eva hat drei Muster aus Holzstäbchen gelegt.
Dabei liegt keines der Holzstäbchen über einem anderen.

Holzstäbchen

Eva möchte die Anzahl der Holzstäbchen bei jedem Muster berechnen.
Sie überlegt:

„Das erste Muster besteht aus vier Holzstäbchen in der Mitte und zwölf Holzstäbchen außen herum. Beim zweiten Muster kommen zwölf Holzstäbchen dazu.“

Welche der beiden Formeln

s = 12n + 4
oder
s = 4n + 12
→ n gibt die Stelle des jeweiligen Musters an
→ s ist die Anzahl der Holzstäbchen eines Musters

kann nicht für die Berechnung der Anzahl der
Holzstäbchen verwendet werden?

Begründe deine Entscheidung.

Lösung 1

a)
sin γ =
AM
AS
b)
tan β
=
SE
BE
c)
cos α =
AB
AC

Lösung 2

Mögliche Beschreibungen:

  • Benjamin hat die Steigung der Geraden g mit m =
    1
    2
    falsch eingezeichnet.
  • Bei der Parabel p hat er die x-Koordinate des Scheitelpunktes mit x = 2 falsch eingezeichnet.

Lösung 3

1. Umformen:

3x2 + 3x - 10=5 + x + 2x2| -(5 + x + 2x2)
3x2 + 3x - 10 - (5 + x + 2x2)=0
3x2 + 3x - 10 - 5 - x - 2x2=0
x2 + 2x - 15=0

2. Mitternachtsformel anwenden:

x1;2=
-2 ± √22 - 4 · 1 · (-15)
2 · 1
x1=
-2 + 8
2
x1=3
x2=
-2 - 8
2
x2=-5

Lösung 4

a)
sin(10°) < sin(110°)
b)
sin(50°) > sin(150°)

Lösung 5

a)
30% von 6000=
30
100
· 6000
=1800

Im Jahr 2023 gaben von 6000 Befragten 1800 Personen an, ein E-Bike zu nutzen.

b)

1. Anzahl der E-Bike-Nutzer berechnen

25% von 6000=
25
100
· 6000
=1500

2. Davon sind 40% älter als 60 Jahre

40% von 1500=
40
100
· 1500
=600

600 Personen sind E-Bike-Nutzer und älter als 60 Jahre.

Lösung 6

P(blau) = 24 = 12,    P(weiß) = 14

a)

P(zweimal blau) = P(blau) · P(blau) = 12 · 12 = 14 bzw. 25%

b)

Fall 1: keinmal weiß

P(keinmal weiß)=
3
4
·
3
4
=
9
16

Fall 2: einmal weiß

Zwei Möglichkeiten: (weiß, nicht-weiß) oder (nicht-weiß, weiß)

P(einmal weiß)=
1
4
·
3
4
+
3
4
·
1
4
=
6
16

Zusammenrechnen:

P(höchstens einmal weiß)=
9
16
+
6
16
=
15
16

Lösung 7

Die Formel s = 4n + 12 kann nicht verwendet werden.

Rechnerische Begründung (Für das 2. Muster):

s=4n + 12
s(2)=4 · 2 + 12=20
20≠28

Argumentative Begründung:

Bei dieser Formel kämen immer nur 4 anstatt 12 Stäbchen hinzu.

Aufgabe 1

(4 P)

Das Dreieck ABC und das Rechteck DEFM haben die Punkte D, B, G und M gemeinsam.

Es gilt:

α = 70,0°

AC = 14,8 cm

AE = 13,6 cm

AC = BC

M halbiert die Strecke AC.

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks BEFG.

Dreieck und Rechteck

Aufgabe 2

(3,5 P)

Das abgebildete Zirkuszelt ist ein zusammengesetzter Körper.
Dieser besteht annähernd aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel.

Der Hersteller gibt folgende Maße an:

Vges = 500 m3

s = 7,45 m

ε = 20,0°

Geometrie Zelt Zirkuszelt Foto

Das Dach und die Seitenwand des Zirkuszeltes bestehen aus einer Kunststoffplane.

Wie viele m2 Kunststoffplane werden benötigt? Berechne.

Aufgabe 3

(3 P)

Die Diagramme enthalten Informationen zum Müllaufkommen in Deutschland im Jahr 2023.

Diagramm Müllaufkommen
  • Berechne die Menge des Restmülls pro Person im Jahr 2023 in Kilogramm.
  • Wie viele Kilogramm Glas wurden im Jahr 2023 pro Person entsorgt? Berechne.

Laut einer Prognose sinkt das Müllaufkommen in den sieben Jahren von 2023 bis 2030 pro Person jährlich jeweils um 1,5 % bezogen auf das Vorjahr.

  • Berechne das Müllaufkommen pro Person im Jahr 2030 in Kilogramm.

Aufgabe 4

(3 P)

Familie Bauer veranstaltet anlässlich eines Kindergeburtstages ein Entenrennen.
Dabei werden zwölf gleich große Plastikenten zeitgleich in einen Bach gesetzt.
Es sind sieben rote, zwei blaue und drei gelbe Enten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

  • Die ersten beiden Enten, die durchs Ziel schwimmen, sind blau.
  • Die ersten beiden Enten, die durchs Ziel schwimmen, sind gelb und rot.

Am Start werden von den zwölf Enten zwei rote Enten weggenommen.

Thiara behauptet: „Jetzt liegt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei rote Enten Platz 1 und 2 belegen, bei genau 25 %."

Badeente
  • Überprüfe Thiaras Behauptung durch Rechnung oder Argumentation.

Aufgabe 5

(3,5 P)

In einer Fußgängerzone wurden zwei Umfragen durchgeführt.
Dabei wurde nach den durchschnittlichen Ausgaben für den Wocheneinkauf gefragt.
Am Dienstag wurden 21 Personen und am Freitag 25 Personen befragt.
Die Ergebnisse dieser beiden Umfragen sind im Diagramm und in der Strichliste dargestellt.

Ausgaben Diagramm
  • Welche Umfrage gehört zu dem abgebildeten Boxplot?
    Begründe mit Hilfe der Kennwerte.
Boxplot Ausgaben
  • Ergänze den Boxplot für die andere Umfrage.

Bei der Umfrage vom Freitag kommen nachträglich die vier Werte 50 €, 60 €, 70 € und 80 € hinzu.

  • Ändert sich aufgrund dieser vier Werte der zugehörige Boxplot? Begründe.

Aufgabe 6

(3 P)

Das Schaubild zeigt den Ausschnitt der nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel p.
Die Punkte A(-2|-5) und B(-6|-5) liegen auf p.

  • Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel p.

Die Parabel p besitzt mit der x-Achse die beiden Schnittpunkte N1(-1|0) und N2.

Eine Gerade g geht durch den Scheitelpunkt S der Parabel p und durch N2.

  • Berechne die Funktionsgleichung der Geraden g.
Parabel Diagramm

Lösung 1

Das Viereck BEFG ist ein Trapez. Sein Flächeninhalt lässt sich wie folgt berechnen:

ABEFG =
a + c
2
· h =
BE + GF
2
· EF

1. Berechnung der Länge EF

Berechnung der Länge AM:

AM =
1
2
· AC =
1
2
· 14,8 cm = 7,4 cm

Berechnung der Länge DM:

sin(70°) =
Gegenkathete
Hypotenuse
=
DM
AM
sin(70°) =
DM
7,4 cm
 | · 7,4 cm
DM ≈ 6,95 cm

Daraus folgt DM = EF ≈ 6,95 cm.

2. Berechnung der Länge BE

Berechnung der Länge AB:

Da ABC ein gleichschenkliges Dreieck ist, gilt in dem rechtwinkligen Dreieck, das durch Einzeichnen der Höhe entsteht:

cos(α) =
1
2
AB
AC
 | · 2 · AC
AB = 2 · AC · cos(α)

AC einsetzen ergibt:

AB = 2 · 14,8 cm · cos(70°) ≈ 10,12 cm

Daraus folgt:

BE = AE - AB ≈ 13,6 cm - 10,12 cm = 3,48 cm

3. Berechnung der Länge GF

Berechnung der Länge MG:

MG =

1
2
· AB ≈
1
2
· 10,12 cm = 5,06 cm

Berechnung der Länge AD:

cos(α) =
Ankathete
Hypotenuse
=
AD
AM
cos(70°) =
AD
7,4 cm
 | · 7,4 cm
AD ≈ 2,53 cm

Berechnung der Länge DE:

DE = AE - AD ≈ 13,6 cm - 2,53 cm = 11,07 cm

Wegen MF = DE ≈ 11,07 cm folgt:

GF = MF - MG ≈ 11,07 cm - 5,06 cm = 6,01 cm

4. Berechnung des Flächeninhalts ABEFG

ABEFG =
BE + GF
2
· EF ≈
3,48 cm + 6,01 cm
2
· 6,95 cm ≈ 32,98 cm2

Der Flächeninhalt des Vierecks BEFG beträgt ca. 32,98 cm2.

Lösung 2

Da der Kegel im Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s bildet und der Winkel ε gegeben ist, können der Radius und die Höhe des Kegels wie folgt berechnet werden:

r=s · cos(ε)
=7,45 m · cos(20°)
≈7,0 m
hK=s · sin(ε)
=7,45 m · sin(20°)
≈2,55 m

Zylinderhöhe hZ durch das gegebene Gesamtvolumen berechnen:

Vges = VZ + VK = π · r2 · hZ +
1
3
π · r2 · hK
Vges = π · r2 · hZ +
1
3
π · r2 · hK		 | : (π · r2)
Vges
π · r2
 = hZ +
1
3
· hK		 | -
1
3
· hK
Vges
π · r2
-
1
3
· hK 		= hZ

Zahlenwerte einsetzen:

hZ =
500 m3
π · (7,0 m)2
-
1
3
· 2,55 m
hZ ≈ 2,40 m

Planenfläche berechnen:

Mantel Zylinder:

AZ=2π · r · hZ
=2π · 7,0 m · 2,40 m
≈105,6 m2

Mantel Kegel:

AK=π · r · s
=π · 7,0 m · 7,45 m
≈163,8 m2

Ages = AZ + AK ≈ 105,6 m2 + 163,8 m2 = 269,4 m2

Es werden etwa 269,4 m2 Kunststoffplane für Seitenwand und Dach benötigt.

Lösung 3

Restmüll pro Person 2023:

620 kg · 0,724=448,88 kg

Die Menge des Restmülls pro Person im Jahr 2023 betrug 448,88 kg.

Anteil Verpackungsmüll berechnen:

100% - 72,4%=27,6%
620 kg · 0,276=171,12 kg   [Anteil Verpackungsmüll pro Person 2023]

Glasmüll pro Person 2023:

171,12 kg · 0,337≈57,67 kg

Im Jahr 2023 wurden pro Person etwa 57,67 Kilogramm Glas entsorgt.

7-jähriger Rückgang um 1,5%:

1 - 0,015=0,985
620 kg · 0,9857≈557,76 kg

Laut Prognose beträgt das Müllaufkommen pro Person im Jahr 2030 etwa 557,76 Kilogramm.

Lösung 4

Wahrscheinlichkeiten:

P(rot) = 712,    P(blau) = 212,    P(gelb) = 312

Wahrscheinlichkeiten, dass zuerst zwei blaue Enten durchs Ziel schwimmen:

P(zwei blaue) =
2
12
·
1
11
=
1
66
  bzw. ca. 1,5%

Für das Ereignis "Die ersten beiden Enten, die durchs Ziel schwimmen, sind gelb und rot" gibt es zwei Möglichkeiten:

P(gelb, rot) =
3
12
·
7
11
=
7
44
P(rot, gelb) =
7
12
·
3
11
=
7
44

Daraus folgt:

P(eine gelbe und eine rote) = 744 + 744 = 722   bzw. ca. 31,8%

Thiaras Behauptung stimmt nicht, denn:

Rechnerische Begründung:

P(zwei rote) =
5
10
·
4
9
=
2
9
  bzw. ca. 22,2% 		[Wahrscheinlichkeit nach Abzug der beiden roten Enten]

Argumentative Begründung:

Es handelt sich um einen Zufallsversuch ohne Zurücklegen.
Die Wahrscheinlichkeit für die erste rote Ente beträgt nun 12 und für die zweite rote Ente weniger als 12. Somit ist das Produkt kleiner als 14.

Lösung 5

Der Boxplot gehört zu der Umfrage Freitag.

Eine mögliche Begründung:
Die beiden Umfragen unterscheiden sich nur im oberen Quartil.
In der Umfrage Freitag beträgt das obere Quartil qo = 100 €.

min qu z qo max
Umfrage Dienstag 50 60 90 120 150
Umfrage Freitag 50 60 90 100 150

Boxplot für die Umfrage Dienstag:

Lösung Boxplot Dienstag

Der Boxplot ändert sich. Mögliche Begründung:
Der Zentralwert liegt nun bei 80 €.

Lösung 6

Funktionsgleichung der Parabel bestimmen:

Punkte in die Normalform einer verschobenen Normalparabel (y = x2 + bx + c) einsetzen:

Punkt A(-2|-5) einsetzen:

-5=(-2)2 - 2b + c
-5=4 - 2b + c| -4 + 2b
c=-9 + 2b

Punkt B(-6|-5) einsetzen:

-5=(-6)2 - 6b + c

c einsetzen:

-5=36 - 6b - 9 + 2b| -36 + 9
-32=-4b| : (-4)
b=8

b einsetzen:

c=-9 + 2 · 8
c=-9 + 16
c=7

b und c in die Normalform einsetzen:

y = x2 + 8x + 7

Scheitelpunkt S bestimmen:

Normalform durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktform y = (x - d)2 + e mit Scheitelpunkt S(d|e) umformen:

y=x2 + 8x + 7
= x2 + 8x +
8
2
2 -
8
2
2 + 7
=x2 + 8x + 16 - 16 + 7
=(x + 4)2 - 16 + 7
=(x + 4)2 - 9

Der Scheitelpunkt ist S(-4|-9).

Nullstelle N2 berechnen:

Parabelgleichung gleich null setzen und mit Hilfe der Mitternachtsformel die x-Koordinate des Nullpunktes berechnen:

x2 + 8x + 7=0
x1,2=
-8 ± √(-8)2 - 4 · 1 · 7
2 · 1
x1=-1
x2=-7

So erhält man folgenden Punkt:

N2 = (-7|0)

Funktionsgleichung der Geraden g bestimmen:

S und N2 in die Gleichung m =

y2 - y1
x2 - x1
einsetzen, um die Steigung m zu berechnen:

m=
0 - (-9)
(-7) - (-4)
=
9
-3
=-3

S und m in die Geradengleichung y = mx + b einsetzen und nach b auflösen:

y=mx + b
-9=(-3) · (-4) + b
-9=12 + b| -12
b=-21

So ergibt sich folgende Gleichung für die Gerade g:

g: y = -3x - 21

Aufgabe 1

(10 P)
a)

Im rechtwinkligen Trapez ABCD liegt das rechtwinklige Dreieck AEC.

Es gilt:

  • AD = 3,8 cm
  • AB = 12,9 cm
  • α1 = 65,0°

Berechne den Umfang des Dreiecks EBC.

Geometrie Dreieck
b)

Die Parabel p1 mit der Funktionsgleichung y = 0,25x2 + c geht durch den Punkt C(2|7).

  • Berechne die Funktionsgleichung von p1.

Die Parabel p2 ist eine verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel mit den beiden Punkten A(0|-1) und B(-1|2). Sie hat den Scheitelpunkt S2.

  • Berechne die Funktionsgleichung von p2.

Die Parabel p3 mit dem Scheitelpunkt S3 hat die Funktionsgleichung y = (x - 5)2 - 2.

Die Punkte S2, S3 und C bilden das Dreieck S2S3C.

  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks S2S3C.

Der Punkt C bewegt sich auf der Parabel p1.
Dadurch entsteht der Punkt C1 und somit das Dreieck S2S3C1.

  • Für welchen Punkt C1 hat das Dreieck S2S3C1 den kleinsten Flächeninhalt?
    Gib die Koordinaten von C1 an. Begründe.

Aufgabe 2

(10 P)
a)

Die Abbildung zeigt die verschobene Normalparabel p1 und die Gerade g.
Die Gerade g schneidet die Parabel p1 in den Punkten A und B.

  • Bestimme die Funktionsgleichungen von p1 und g. Entnimm geeignete Werte aus dem Schaubild.

Die Parabel p2 hat die Funktionsgleichung y = x2 + bx + 37,5 und geht durch den Punkt C(5|2,5).

  • Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts S2 von p2.

Die Gerade h ist senkrecht zu g und geht durch den Scheitelpunkt S2 von p2.

  • Berechne die Funktionsgleichung der Geraden h.

Die Gerade h schneidet die Gerade g im Punkt D.

  • Berechne die Entfernung von S2 zu D.
Parabel Diagramm 2
b)

Von einer regelmäßigen achtseitigen Pyramide sind bekannt:

a = 6,2 cm (Grundkante)

h = 14,4 cm (Höhe der Pyramide)

  • Berechne den Flächeninhalt des Manteldreiecks ABS.

Der Punkt C liegt auf der Höhe h. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC beträgt 27,9 cm2.

  • Berechne die Länge der Strecke SC.
Achteckige Pyramide

Aufgabe 3

(10 P)
a)

Die Klasse 9c sammelt 2-Euro-Münzen für ein Glücksspiel. In einem Behälter liegen drei französische, sieben spanische und zehn deutsche Münzen. Es werden zwei Münzen gleichzeitig gezogen.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit, zwei Münzen aus verschiedenen Ländern zu ziehen.

Für das Glücksspiel wird der abgebildete Gewinnplan verwendet.

  • Berechne den Erwartungswert. Macht die Klasse 9c auf lange Sicht Gewinn?

Die Klasse 9c plant, bei dem Glücksspiel langfristig 20 Cent pro Spiel zu gewinnen.

  • Wie hoch müsste dann der Gewinn für „zwei französische Münzen“ sein, wenn alles andere unverändert bleibt? Berechne.
Münze Münze 2
Ereignis Gewinn
zwei französische Münzen 20,00 €
zwei spanische Münzen 5,00 €
zwei deutsche Münzen 2,00 €
Einsatz pro Spiel: 1,50 €
b)

Das Foto zeigt das Viaduc de Garabit in Frankreich.

Die beiden Bögen der Brücke sind annähernd parabelförmig.

Sie haben auf der Höhe der beiden Betonsockel eine Spannweite von 165 m.

Die beiden Bögen enden auf den beiden Betonsockeln in einer Höhe von 47 m über der Wasseroberfläche.

Der obere Bogen hat über der Wasseroberfläche eine maximale Höhe von 122 m.

  • Berechne eine mögliche Funktionsgleichung für den oberen Brückenbogen.

Der untere Bogen kann mit einer Funktionsgleichung der Form y = ax2 + c beschrieben werden. Für den Faktor a des unteren Brückenbogens gilt: a = -

1
100
.

  • Wie groß ist der Abstand zwischen den höchsten Punkten der beiden Brückenbögen? Berechne.
Brücke

Lösung 1

a)

Beim Punkt A bilden die Winkel &sphericalangle;DAC und &sphericalangle;CAE zusammen einen rechten Winkel. Da &sphericalangle;DAC bekannt ist:

90° - &sphericalangle;DAC=&sphericalangle;CAE
90° - 65°=25°

Längenbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck ermitteln:

cos(α1)=
Ankathete
Hypotenuse
cos(65°)=
AD
AC
cos(65°)=
3,8 cm
AC
| · AC
cos(65°) · AC=3,8 cm| : cos(65°)
AC=
3,8 cm
cos(65°)
≈8,99 cm

DC berechnen:

tan(65°)=
DC
3,8 cm
| · 3,8 cm
DC=tan(65°) · 3,8 cm ≈ 8,15 cm

CE berechnen:

tan(25°)=
CE
8,99 cm
| · 8,99 cm
CE=tan(25°) · 8,99 cm ≈ 4,19 cm

AE berechnen:

cos(25°)=
8,99 cm
AE
| · AE dann : cos(25°)
AE=
8,99 cm
cos(25°)
≈ 9,92 cm

Daraus folgt:

EB=AB - AE ≈ 12,9 cm - 9,92 cm = 2,98 cm

Um den Umfang des Dreiecks EBC bestimmen zu können, muss noch CB ermittelt werden. Senkrechte durch C errichten:

BF=AB - DC ≈ 12,9 cm - 8,15 cm = 4,75 cm

Mit Pythagoras im Dreieck BCF (wobei CF = AD = 3,8 cm):

BC2≈(4,75 cm)2 + (3,8 cm)2| √
BC≈√(4,75)2 + (3,8)2 ≈ 6,08 cm

Umfang:

UEBC=CE + BC + EB ≈ 4,19 cm + 6,08 cm + 2,98 cm = 13,25 cm
b)

Funktionsgleichung von p1 bestimmen:

Punkt C(2|7) in p1 einsetzen und nach c auflösen:

7=0,25 · 22 + c
7=1 + c| -1
c=6

Somit lautet die Funktionsgleichung: p1 : y = 0,25x2 + 6

Funktionsgleichung von p2 bestimmen:

Scheitelpunktform: y = (x - d)2 + e. Punkte A(0|-1) und B(-1|2) einsetzen:

A einsetzen:

-1=(0 - d)2 + e
-1=d2 + e| -d2
e=-1 - d2(Gl. 1)

B einsetzen:

2=(-1 - d)2 + e
2=(1 + d)2 + e(Gl. 2)

Gleichung (1) in (2) einsetzen:

2=(1 + d)2 + (-1 - d2)
2=(1 + 2d + d2) - 1 - d2
2=2d
d=1

d in (1) einsetzen ergibt e = -1 - 12 = -2. Scheitelpunkt ist S2(1|-2).

p2 : y = (x - 1)2 - 2

Flächeninhalt des Dreiecks S2S3C:

S3(5|-2) ist gegeben. Damit liegen S2(1|-2) und S3 auf einer waagerechten Linie (Grundseite).

Länge Grundseite=5 - 1 = 4 LE
Höhe von C(2|7)=7 - (-2) = 9 LE
Flächeninhalt=
1
2
· 4 · 9 = 18 FE

Minimaler Flächeninhalt:

Da die Grundseite fix ist, muss die Höhe minimal werden. C1 bewegt sich auf p1, die nach oben geöffnet ist. Das Minimum liegt also im Scheitelpunkt von p1.

Scheitelpunkt von p1 (y = 0,25x2 + 6) ist S1(0|6). Also ist C1(0|6).

Lösung 2

a)

Funktionsgleichung von p1:

Aus der Zeichnung ablesbar: Scheitelpunkt bei S(3|-3). Form: y = (x - 3)2 - 3 bzw. y = x2 - 6x + 6

Funktionsgleichung von g:

Geht durch A(0|6) und B(4|-2).
m = (-2 - 6) / (4 - 0) = -8 / 4 = -2. y-Achsenabschnitt ist 6.
g : y = -2x + 6

Scheitelpunkt S2 von p2:

C(5|2,5) in y = x2 + bx + 37,5 einsetzen:

2,5=52 + 5b + 37,5
2,5=25 + 5b + 37,5
2,5=62,5 + 5b| -62,5
-60=5b| : 5
b=-12

y = x2 - 12x + 37,5. Mit quadratischer Ergänzung oder Formel (xS = -b/2): xS = 6. yS = 62 - 12(6) + 37,5 = 36 - 72 + 37,5 = 1,5.
S2(6|1,5)

Gerade h:

Senkrecht zu g (mg = -2) bedeutet mh = 1/2. Geht durch S2(6|1,5).

1,5=0,5 · 6 + b
1,5=3 + b| -3
b=-1,5

h : y = 0,5x - 1,5

Entfernung von S2 zu D:

Schnittpunkt D von g und h:

-2x + 6=0,5x - 1,5| +2x + 1,5
7,5=2,5x| : 2,5
x=3

Einsetzen: y = -2(3) + 6 = 0. Also D(3|0).

Abstand: d = √(6-3)2 + (1,5-0)2 = √9 + 2,25 = √11,25 ≈ 3,35 LE

b)

Achteck-Innenwinkel: 360° / 8 = 45°. Der halbe Winkel ist 22,5°.
Das Apothem r (Abstand Mitte zu Kante) berechnet sich im kleinen Dreieck:

tan(22,5°)=
3,1 cm
r
r=
3,1 cm
tan(22,5°)
≈ 7,48 cm

Schritthöhe (Seitenhöhe) l der Pyramide mit Pythagoras:

l = √h2 + r2 = √14,42 + 7,482 ≈ 16,23 cm

Flächeninhalt AABS:

A = 0,5 · a · l = 0,5 · 6,2 · 16,23 ≈ 50,3 cm2

Länge SC:

AABC = 27,9 cm2. Dreieck hat Grundseite AB = a = 6,2 cm.

Höhe p auf dieser Seite: 27,9 = 0,5 · 6,2 · p   ⇒   p = 27,9 / 3,1 = 9,0 cm.

Das Dreieck aus r, p und CM (Höhenabschnitt) ist rechtwinklig (p ist Hypotenuse, da es die Strecke von Kante AB zu C auf der Mittelachse ist):

CM = √p2 - r2 = √9,02 - 7,482 = √81 - 55,95 ≈ 5,0 cm.

Gesamthöhe ist 14,4 cm. Also ist SC = h - CM = 14,4 - 5,0 = 9,4 cm.

Lösung 3

a)

Anzahl Münzen: 3 F, 7 S, 10 D. Gesamt = 20 Münzen.

Wahrscheinlichkeit für "verschiedene Länder":

P(versch.)=2 · ( P(F,S) + P(F,D) + P(S,D) )
=2 · [ (
3
20
·
7
19
) + (
3
20
·
10
19
) + (
7
20
·
10
19
) ]
=2 · [
21
380
+
30
380
+
70
380
] = 2 ·
121
380
=
121
190
≈ 63,7%

Erwartungswert:

P(2F) =

3
20
·
2
19
=
6
380
=
3
190

P(2S) =

7
20
·
6
19
=
42
380
=
21
190

P(2D) =

10
20
·
9
19
=
90
380
=
45
190

E=(
3
190
· 20€) + (
21
190
· 5€) + (
45
190
· 2€) - 1,50€
=
60
190
+
105
190
+
90
190
- 1,50
=
255
190
- 1,50 ≈ 1,34€ - 1,50€ = -0,16€

Da der Erwartungswert aus Sicht des Spielers negativ ist, verliert dieser im Durchschnitt 16 Cent. Die Klasse macht also auf lange Sicht Gewinn.

Anpassung des Glücksspiels:

Die Klasse möchte 20 Cent Gewinn machen. Der Erwartungswert für den Spieler muss also E = -0,20€ sein. Wir suchen die Auszahlung x für 2F.

-0,20=
3
190
· x + (
21
190
· 5) + (
45
190
· 2) - 1,50
-0,20=
3
190
· x +
195
190
- 1,50
1,30 -
195
190
=
3
190
· x
247
190
-
195
190
=
3
190
· x
52
190
=
3
190
· x		| · 190 / 3
x=52 / 3 ≈ 17,33 €
b)

Funktionsgleichung oberer Brückenbogen:

Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass der Scheitelpunkt auf der y-Achse ist. Wasseroberfläche ist die x-Achse.
Scheitelpunkt S(0|122). Die Spannweite ist 165m, also enden die Bögen bei x = 82,5 und x = -82,5. Die Höhe dort ist 47m. Punkt P(82,5|47).

y=a(x - 0)2 + 122
47=a · 82,52 + 122| -122
-75=6806,25 · a| : 6806,25
a≈-0,011

Obere Parabel: y = -0,011x2 + 122

Abstand zwischen den höchsten Punkten:

Unterer Bogen: y = ax2 + c mit a = -0,01. Geht ebenfalls durch P(82,5|47).

47=-0,01 · 82,52 + c
47=-68,0625 + c| +68,0625
c≈115,06

Die Höhe des Scheitels (höchster Punkt) des unteren Bogens ist 115,06 m.
Der höchste Punkt des oberen Bogens ist 122 m.

Abstand: 122 m - 115,06 m = 6,94 m.

Aufgabe 1

Aufgabe 1 - Volumen Quader und Pyramide

Aufgabe 2

Aufgabe 2 - Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 3

Aufgabe 3 - Zehnerpotenzen

Aufgabe 4

Aufgabe 4 - Muster aus Kärtchen

Aufgabe 5

Aufgabe 5 - Sinuswerte

Aufgabe 6

Aufgabe 6 - Boxplot Kabel

Aufgabe 7

Aufgabe 7 - Verkehrsmittel Diagramm

Lösung 1

Lösung 1

Lösung 2

Lösung 2

Lösung 3

Lösung 3

Lösung 4

Lösung 4

Lösung 5

Lösung 5

Lösung 6

Lösung 6

Lösung 7

Lösung 7

Aufgabe 1

A2 Aufgabe 1

Aufgabe 2

A2 Aufgabe 2

Aufgabe 3

A2 Aufgabe 3

Aufgabe 4

A2 Aufgabe 4

Aufgabe 5

A2 Aufgabe 5

Aufgabe 6

A2 Aufgabe 6

Lösung 1

A2 Lösung 1 Teil 1 A2 Lösung 1 Teil 2

Lösung 2

A2 Lösung 2 Teil 1 A2 Lösung 2 Teil 2 A2 Lösung 2 Teil 3

Lösung 3

A2 Lösung 3

Lösung 4

A2 Lösung 4

Lösung 5

A2 Lösung 5

Lösung 6

A2 Lösung 6

Aufgabe 1

B Aufgabe 1

Aufgabe 2

B Aufgabe 2

Aufgabe 3

B Aufgabe 3 Teil 1 B Aufgabe 3 Teil 2

Lösung 1

B Lösung 1 Teil 1 B Lösung 1 Teil 2 B Lösung 1 Teil 3 B Lösung 1 Teil 4

Lösung 2

B Lösung 2 Teil 1 B Lösung 2 Teil 2 B Lösung 2 Teil 3 B Lösung 2 Teil 4 B Lösung 2 Teil 5

Lösung 3

B Lösung 3 Teil 1 B Lösung 3 Teil 2 B Lösung 3 Teil 3

Aufgabe 1

2023 A1 Aufgabe 1

Aufgabe 2

2023 A1 Aufgabe 2

Aufgabe 3

2023 A1 Aufgabe 3 Teil 1 2023 A1 Aufgabe 3 Teil 2

Aufgabe 4

2023 A1 Aufgabe 4

Aufgabe 5

2023 A1 Aufgabe 5

Aufgabe 6

2023 A1 Aufgabe 6

Aufgabe 7

2023 A1 Aufgabe 7

Aufgabe 8

2023 A1 Aufgabe 8

Lösungen Pflichtteil A1

Lösung 1 Lösung 2 Lösung 3 Lösung 4 Lösung 5 Lösung 6 Lösung 7 Lösung 8

Aufgabe 1

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Aufgabe 6

Lösung 1

Lösung 2

Lösung 3

Lösung 4

Lösung 5

Lösung 6

Aufgabe 1

2023 B Aufgabe 1 Teil 1 2023 B Aufgabe 1 Teil 2

Aufgabe 2

2023 B Aufgabe 2 Teil 1 2023 B Aufgabe 2 Teil 2

Aufgabe 3

2023 B Aufgabe 3 Teil 1 2023 B Aufgabe 3 Teil 2

Aufgabe 4

2023 B Aufgabe 4 Teil 1 2023 B Aufgabe 4 Teil 2

Lösung 1

2023 B Lösung 1 Teil 1 2023 B Lösung 1 Teil 2 2023 B Lösung 1 Teil 3 2023 B Lösung 1 Teil 4

Lösung 2

2023 B Lösung 2 Teil 1 2023 B Lösung 2 Teil 2 2023 B Lösung 2 Teil 3 2023 B Lösung 2 Teil 4 2023 B Lösung 2 Teil 5

Lösung 3

2023 B Lösung 3 Teil 1 2023 B Lösung 3 Teil 2

Lösung 4

2023 B Lösung 4 Teil 1 2023 B Lösung 4 Teil 2 2023 B Lösung 4 Teil 3 2023 B Lösung 4 Teil 4

Aufgabe 1

(10 P)
a)

Im Quadrat ABCD liegen die beiden gleichschenkligen Dreiecke ABF und DEF.

Es gilt:

  • AB = 14,0 cm
  • AF = 12,0 cm
  • AF = BF
  • EF = DF
  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks AFE.
  • Berechne den Winkel ε.
Quadrat
b)

Die Gerade g hat die Funktionsgleichung y = x + 2.
Die Parabel p1 hat die Funktionsgleichung y = -x2 + 8.
Die Parabel p1 schneidet die Gerade g in den Punkten P und Q.

  • Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte P und Q.

Durch die beiden Schnittpunkte P und Q verläuft die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel p2.

  • Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts S2 von p2.

Robin behauptet: „Das Dreieck mit den Punkten P, Q und S2 ist rechtwinklig.“

  • Hat Robin Recht? Begründe deine Antwort rechnerisch.

Aufgabe 2

(10 P)
a)

Das Schaubild zeigt Ausschnitte der verschobenen Normalparabel p1 und der nach unten geöffneten Parabel p2.

  • Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln. Entnimm dazu geeignete Werte aus dem Schaubild.

Die Gerade g verläuft durch die beiden Scheitelpunkte S1 und S2.

  • Berechne die Funktionsgleichung von g.

Die Gerade h verläuft senkrecht zu g und geht durch den Punkt R(4|5).

  • Berechne die Funktionsgleichung von h.
  • Gib die Funktionsgleichung einer weiteren verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel p3 an, die keine Punkte mit p1 und p2 gemeinsam hat.
Normalparabel
b)

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem regelmäßigen Fünfecksprisma mit aufgesetzter regelmäßiger fünfseitiger Pyramide.

Es gilt:

  • s = 12,6 cm
  • ε = 33,0°
  • h2 = 5,6 cm (Höhe Prisma)

Berechne den Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers.

Fünfecksprisma

Aufgabe 3

(10 P)
a)

In einem Gefäß liegen acht Kugeln, die rot, blau und grün gefärbt sind.
Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen?

Die Kugeln werden für ein Gewinnspiel eingesetzt. Dazu wird folgender Gewinnplan geprüft.

  • Berechne den Erwartungswert.
EreignisGewinn
zwei gleichfarbige Kugeln4,00 €
eine grüne und eine blaue Kugel10,00 €
Einsatz: 2,50 € pro Spiel

Der Veranstalter des Gewinnspiels möchte seinen Gewinn pro Spiel auf lange Sicht verdoppeln.

  • Wie hoch müsste dann der Gewinn für „eine grüne und eine blaue Kugel" sein, wenn alles andere unverändert bleibt?
Kugeln
b)

Das Foto zeigt ein „Tiny House“. Die Vorderseite des Hauses ist annähernd parabelförmig.
Die maximale Höhe des Hauses beträgt 3,00 m.
Am Boden ist es 2,70 m breit.

  • Berechne eine mögliche Funktionsgleichung für die parabelförmige Außenkante des Hauses.

Die 2,00 m hohe Eingangstür befindet sich mittig auf der Vorderseite des Hauses. Am oberen Ende der Eingangstür befindet sich ein Vordach, das von Außenkante zu Außenkante reicht.

  • Berechne die Länge dieses Vordachs.

In 1,00 m Höhe hat der Türrahmen eine waagrechte Entfernung von 0,70 m zu den Außenkanten.

  • Berechne den Flächeninhalt der Tür.
Tiny House Quelle: https://tiny-house-de

Aufgabe 4

(10 P)
a)

Die Parabel p1 hat die Funktionsgleichung y = x2 - 8x + 12.
Die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel p2 hat den Scheitelpunkt S2(1 | -7).

  • Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts Q1 der beiden Parabeln p1 und p2.

Die Parabel p1 schneidet die x-Achse in den Punkten N1 und N2.

  • Berechne die Koordinaten von N1 und N2.

Die Punkte N1, N2 und Q1 bilden ein Dreieck.

  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks N1Q1N2.

Der Punkt Q1 bewegt sich auf der Parabel p2 unterhalb der x-Achse. Dadurch entsteht der Punkt Q2 und somit das Dreieck N1Q2N2.

  • Für welche Lage von Q2 wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?
  • Berechne diesen maximalen Flächeninhalt.
b)

Das regelmäßige Sechseck und das gleichschenklige Dreieck ABC haben die Seite AB gemeinsam.

Es gilt: AB = 12,4 cm

  • Berechne den Umfang des Dreiecks ABC.

Tom behauptet: „Der Flächeninhalt des Sechsecks ist dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks ABC."

  • Hat Tom Recht?
    Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
Sechseck und Dreieck